Trực tâm là gì? Trực tâm tam giác là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm như thế nào để nhanh và đơn giản nhất? Đọc ngay bài viết dưới đây của nghecontent.com để giải đáp những thắc mắc trên nhé.
Table of Contents
Trực tâm là gì? Trực tâm tam giác là gì?
Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.
Trực tâm là gì? Tính chất của trực tâm tam giác
Trực tâm tam giác có nhiều định lý, phẩm chất quan trọng. mong muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, chúng ta cần hiểu rõ các định lý, phẩm chất này để vận dụng làm bài tập rất nhanh, đạt kết quả tốt.
nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó còn được nhắc đên là trực tâm của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đấy.
Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đấy.
Trong một tam giác, nếu như đường trung tuyến cùng lúc đó là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.
Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đấy qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P.
Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC, Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau. Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao cùng lúc đó là đường trung tuyến và đường phân giác. Trực tâm O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.
Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm.
tóm tắt lại, tính chất của trực tâm tam giác như sau:
- phẩm chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ cùng lúc đó là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đấy.
- phẩm chất 2: Trong một tam giác, nếu một đường trung tuyến cùng lúc đó là đường phân giác thì tam giác đấy sẽ là tam giác cân.
- phẩm chất 3: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
- tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện BC, AC, AB tương ứng.
- phẩm chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại một điểm thứ 2 sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Cách xác định trực tâm tam giác
Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. mặc dù vậy để nắm rõ ràng trực tâm trong tam giác con người không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi. so với các kiểu tam giác bình thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.
tuy nhiên so với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính Vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.
Cách chứng minh một điểm là trọng điểm, trực tâm của tam giác
Để chứng minh một điểm là trọng điểm, trực tâm của tam giác thì ta cần sử dụng định nghĩa và phẩm chất trọng điểm, trực tâm trong tam giác.
Giả sử ta cần chứng minh G là trọng điểm, H là trực tâm của ΔABC. Ta có:
Chứng minh G là trọng điểm của tam giác ABC
Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta sử dụng một trong 2 cách:
– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Để chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta: Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.
Bài tập luyện tập chủ đề trực tâm tam giác:
Bài 1: Cho hình sau đây
- Chứng minh NS⊥LM
- Khi LNPˆ=50∘, hãy tính góc MSP và góc PSQ
- Cách giải:
- Trong ΔNML có :
- LP⊥MN nên LP là đường caoMQ⊥NL nên MQ là đường cao
mà PL∩MQ=S
suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thằng SN chứa đường cao từ N hay NS⊥LM
2. ΔNMQ vuông tại Q có:
LNPˆ=50∘ nên:
QMNˆ=40∘
ΔMPS vuông tại Q có:
QMNˆ=40∘ nên:
MSPˆ=50∘
Suy ra
PSQˆ=130∘ (kề bù)
Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.
Cách giải:
Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E
ΔHBC có:
HN⊥BC nên HN là đường cao
BE⊥HC nên BE là đường cao
CM⊥BH nên CM là đường cao
Vậy A là trực tâm của ΔHBC
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Cách giải:
Vẽ đường kính BB1
Vì AB1∥HC
AH∥B1C
⇒AHCB1 là hình bình hành
⇒AH→=B1C→
B, C cố định nên B1C→ không đổi.
Như vậy, H=TB1C→(A)
Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn C′(O′,R′), chính là ảnh của đường tròn C(O,R) qua phép tịnh tiến TB1C→.
Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
- Chứng minh: IJ⊥EF
- Chứng minh: IE⊥JE
- Cách giải:
- dùng phẩm chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:
- FI=1/2AH=EIFJ=1/2BC=EJ
Vậy IJ là đường trung trực của EF
⇒IJ⊥EF
2.
Ta có:
E1ˆ=H1ˆ=ECJˆ
H1ˆ=ECJˆ (cùng phụ góc EAH)
Vậy E1ˆ=E3ˆ
IEJˆ=E1ˆ+E2ˆ=E3ˆ+E2ˆ=90∘
⇒IE⊥JE
Trực tâm của tam giác xảy ra rất nhiều trong hình học khung cảnh như tìm trực tâm trong khung cảnh. con người có bài tập sau.
Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC tọa độ có A(-2;6), B (-2;9); C (9;8). Hãy tìm trực tâm của tam giác trong khung cảnh xyz.
Lời giải:
Trực tâm là gì? Video trực tâm tam giác
Hiểu hơn kiến thức hay về trực tâm tam giác tại video dưới đây nhé:
Tổng kết
Hy vọng thông qua bài viết trên, bạn đọc đã có thể biết được trực tâm là gì, trực tâm tam giác là gì cũng như một số thông tin thú vị khác. Tiếp tục theo dõi nghecontent.com để cập nhật thêm nhiều thông tin thú vị nhé.
