Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay còn gọi là bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức ghen tị giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài content hôm nay, nghecontent.com sẽ giới thiệu về một vài kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

Table of Contents

Lý thuyết nên nhớ về Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh bđt này tuy nhiên hay quan trọng là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

– Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

$frac<span class=$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

$frac<span class=$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $<span class=$

Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho $displaystyle <span class=$

– Dạng 1: $displaystyle frac<span class=$

– Dạng 2: $displaystyle <span class=$

– Dạng 3: $displaystyle <span class=$

– Dạng 4: $displaystyle dfrac<span class=$

– Dạng 5: $displaystyle left( <span class=$

Dấu đẳng thức xuất hiện khi và chỉ khi $displaystyle <span class=$

b. Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cô-si

Là các hoàn cảnh đáng chú ý của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3.

c. một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

d. lưu ý khi dùng bất đẳng thức AM – GM

Khi Dùng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm
Bất đẳng thức côsi hay được Áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
Điều kiện xuất hiện dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

đối với hai số:

x2+y2≥2xy.
x2+y2≥(x+y)22
xy≤(x+y2)2

đối với ba số: abc≤a3+b3+c33,abc≤(a+b+c3)3

Hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

+ $displaystyle <span class=$

+ $displaystyle 3left( <span class=$

+ $displaystyle <span class=$

4. Chứng minh của Cauchy

a. Các trường hợp tất cả các giá trị bằng nhau

nếu như toàn bộ các giá trị bằng nhau:

tức tổng chúng là nx1, do đó giá trị trung bình cộng là x1; và tích các số dưới căn bậc hai là x1n, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là x1; Vì điều đó, vế một và vế 2 bằng nhau, điều phải chứng minh.

b. Các hoàn cảnh các giá trị không bằng nhau

nếu như tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì thành quả trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. cụ thể, việc này chỉ có khả năng xả ra khi n> 1. trường hợp này khá khó hiểu và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

c. trường hợp n = 2

nếu như n= 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:

điều phải chứng minh.

d. trường hợpn = 2k

xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hợp căn bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được làm như sau:

với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây chính là đúng:

(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằngx1, và tương tự với trung bình số học thứ 2 và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu như hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải toàn bộ 2 k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, Vì điều đó con người biết rằng:

$frac<span class=$

(điều phải chứng minh).

e. trường hợpn < 2k

nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. vì vậy, mà không mất tính tổng quát, với m thành quả tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Vì điều đó, nếu như ta có n số, thì ta có khả năng biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

Chúng tôi sau đó có:

như vậy

điều phải chứng minh.

Các dạng bài tập của bất đẳng thức Cô-si

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm thành quả nhỏ nhất của biểu thức $A = x + frac<span class=$

Lời giải:

Dùng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

$x + frac<span class=$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = frac<span class=$

Vậy min $A = 2sqrt 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện $frac<span class=$ thành quả lớn nhất của biểu thức $A = sqrt x + sqrt y$

Lời giải:

sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$frac<span class=$

$Leftrightarrow frac<span class=$

Lại có, Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$sqrt x + sqrt y ge 2sqrt <span class=$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l} x = y\ frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2} end{array} right. Leftrightarrow x = y = 4$

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

$frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán {có được|đạt được} dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ {dùng|sử dụng} {công thức|phương pháp} làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

{Áp dụng|Dùng|sử dụng} bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} ge 3sqrt[3]{{frac{a}{{b + c}}.frac{{b + c}}{4}.frac{1}{{2a}}}} = 3sqrt[3]{{frac{1}{8}}} = frac{3}{2}$

Tương tự ta có $frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} ge frac{3}{2}$ và $frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c}} ge frac{3}{2}$

Cộng vế với vế ta có:

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} + frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c}} ge 3.frac{3}{2} = frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{2left( {a + b + c} right)}}{4} + frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b + c}}{2} + frac{{a + b + c}}{2} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{9}{2} - 3 = frac{3}{2}$

Dấu “=” {xảy ra|xuất hiện} khi và chỉ khi a = b = c = 1

b. Bài luyện tập thêm:

Bài 1: Tìm {giá trị|thành quả} nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, $B = frac{{left( {x + 4} right)left( {x + 9} right)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: biến đổi $B = frac{{left( {x + 4} right)left( {x + 9} right)}}{x} = frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + frac{{36}}{x}$ rồi {Áp dụng|Dùng|sử dụng} bất đẳng thức Cô si)

b, $C = frac{{{{left( {x + 10} right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = frac{x}{3} + frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi {Áp dụng|Dùng|sử dụng} bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm {giá trị|thành quả} nhỏ nhất của biểu thức $P = x + frac{1}{y} + frac{4}{{x - y}}$ với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi $P = x - y + frac{4}{{x - y}} + y + frac{1}{y}$ )

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

$left( {a + b + c} right)left( {frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}} right) ge 9$

(gợi ý {Áp dụng|Dùng|sử dụng} bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$frac{{b + c}}{a} + frac{{c + a}}{b} + frac{{a + b}}{c} ge 6$

(gợi ý {dùng|sử dụng} {công thức|phương pháp} làm trội)

Xem thêm: Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất

Chứng minh bất đẳng thức cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm

{cụ thể|rõ ràng} với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta {chỉ cần|chỉ phải} chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với 2 số a, b dương.

a+b2\geqab--\sqrt

\Leftrightarrowa+b\geq2ab--\sqrt

\Leftrightarrowa-2ab--\sqrt+b\geq0

(a--\sqrt-b\sqrt)2\geq0

(luôn đúng với mọi a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi a, b dương (2)

Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi đúng với 2 số thực a, b không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm

{cụ thể|rõ ràng} a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. {Do đó|vì lẽ đó|vì thế|vì vậy}, ta {chỉ cần|chỉ phải} chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực a, b, c dương.

Đặt

x=a--\sqrt3,y=b\sqrt3,z=c\sqrt3

=> x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương.

(x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz\geq0

(x+y+z)[(x+y)2-(x+y)z+z2]

-3xy(x+y+z)\geq0

(x+y+z)(x2+y2+z2+2xy-xz-yz)

-3xy(x+y+z)\geq0

(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz-yz)\geq0

(x+y+z)[(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2]\geq0

(luôn đúng với mọi x, y, z ≥ 0)

Dấu “=” {xảy ra|xuất hiện} khi x = y = z hay a = b = c.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm

Ta {dễ dàng|đơn giản} {nhận ra|phát hiện ra} rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ {chúng ta|con người} {chỉ cần|chỉ phải} chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có:

a+b+c+d\geq2ab--\sqrt2+2cd--\sqrt2\geq4abcd----\sqrt4

\Leftrightarrowa+b+c+d4\geqabcd----\sqrt4

(đpcm)

Ta còn rút ra được hệ quả:

Với

d=a+b+c3

Thì bất đẳng thức trở về dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

{nếu|nếu như} bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh {điều này|việc này} như sau:

x1+x2+\dots,+xn

\geqnx1x2\dotsxn---------\sqrtn+nxn+1xn+2\dotsx2n-------------\sqrtn

\geq2nxn+1xn+2\dotsx2n-------------\sqrt2n

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

x1+x2+\dots,+xn\geqnx1x2\dotsxn---------\sqrtn

xn=sn-1,s=x1+x2+\dots,+xn

s\geq(n-1)x1x2\dotsxn-1----------\sqrtn-1

{đây chính là|Đây là|Nó là} bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.

Tổng kết

Bài viết trên nghecontent.com đã cung cấp cho bạn đầy đủ về lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp về bất đẳng thức Cô-si. Hi vọng bạn có thể tham khảo qua những kiến thức trên. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều bài viết hữu ích khác nữa nhé!