Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất để bạn có thể tham khảo. Công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác nếu bạn bỏ lâu không luyện tập lại sẽ rất nhanh quên, vậy nên nắm được điều này nghecontent.com sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất để bạn có thể tham khảo, luyện tập thông qua bài viết dưới đây nhé!
Table of Contents
Lý thuyết chung
Đạo hàm là gì ?
Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự miêu tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đấy.
Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
Trong hình học đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đấy là xấp xỉ tuyến tính gần đúng nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào.
Đạo hàm của các hàm số lượng giác là gì?
Đạo hàm của các hàm lượng giác là công thức toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).
Bảng công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác
Khái niệm đạo hàm, đạo hàm sơ cấp, đạo hàm cao cấp
Các quy tắc của đạo hàm cơ bản cần ghi nhớ
Các bí quyết đạo hàm cơ bản cần ghi nhớ
- Đạo hàm của f(x) với x là biến số
- Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số
- Đạo hàm của một vài phân thức hữu tỉ thường gặp
Bảng đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược
+ Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).
+ nhận biết đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta đơn giản tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng việc sử dụng quy tắc thương.
+ Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở phía dưới, và từ đấy cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác.
+ Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một vài hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.
Bảng đạo hàm của một vài phân thức hữu tỉ
Bảng đạo hàm của hàm số cấp cao
Bảng đạo hàm và nguyên hàm
Cách tính đạo hàm bằng máy tính
Máy tính cầm tay là công cụ đắc lực trong việc tính đạo hàm cấp 1, cấp 2. Tính đạo hàm bằng máy tính mang lại kết quả có độ chuẩn xác cao và các thực hành các bước thực hiện rất dễ dàng như sau:
Tính đạo hàm cấp 1:
Tính đạo hàm cấp 2:
dự báo công thức đạo hàm bậc n :
+ Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, đạo hàm cấp 3.
+ Bước 2: Tìm quy luật về số, quy luật về dấu, về hệ số, về biến số, về số mũ rồi rút ra công thức tổng quát
Bài tập tính đạo hàm của các hàm số lượng giác
Bài 1:
Đạo hàm của hàm số y = 1/ (cos²x – sin²x) là :
A. Y’ = 2sin2x/cos²2x B. Y’ = 2cos2x/cos²2x
C. Y’ = cos2x/cos²2x D. Y’ = sin2x/cos²2x .
chỉ dẫn giải:
y = 1/ (cos²x – sin²x) = 1/cos2x.
áp dụng công thức tính đạo hàm với (1/u)’ = -u’/u² ta được”
y’ = -(cos2x)’/ (cos2x)² = sin2x. (2X)’/ cos²2x = 2sin2x.cos²2x.
Bài 2:
Cho hàm y = cotx/2. Hệ thức nào sau Nó là đúng?
A. Y² + 2y’ = 0 B. Y² + 2y’ + 1 = 0
C. Y² + 2y’ + 2 = 0 D. Y² + 2y’ -1 = 0.
chỉ dẫn giải:
Ta có y’ = -1/(sin²x/2) = -1/2 ( 1+ cot²x/2).
vì thế y² + 2y’= cot²x/2 – 2.1/2(1 +cot²x/2) = cot²x/2 – (1 +cot²x/2) = -1 nên y² + 2y’ + 1 = 0. Chọn đáp án B.
Cách 2: dùng máy tính casio.
Bước 1: cài đặt môi trường SHIFT MODE 4.
Thay x = 1 vào y = cotx/2 ta tính được y cot 1/2 ≈ 1
sử dụng phím SHIFT ∫, nhập hàm số y = cotx/2 với x = 1 được kết quả ≈ -1.
vì vậy y² + 2y’ + 1 = 0.
Bài 3:
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos2x là:
A. Y(n) = (-1) ncos (2x + n π/2)
B. Y(n) = 2 n cos ( 2x +π/2).
C. Y(n) = 2n +1 cos (2x + nπ/2).
D. Y(n) = 2n cos (2x + nπ/2).
hướng dẫn giải:
Ta có y′=2cos(2x+π2),y′′=2²cos(2x+2π2)
y′′′=2³cos(2x+3π2)
Bằng quy nạp ta chứng minh được y(n)= 2ncos(2x+nπ2)
Bài 4:
Cho hàm số y= (x2+2x-1)/(2x-2). Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 2
hướng dẫn giải
Điều kiện : x≠1
Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là;
Các dạng bài toán liên quan đến công thức đạo hàm
Dạng 1: sử dụng khái niệm tính đạo hàm
Đây là một trong những dạng toán đạo hàm dễ dàng nhất trong giải tích. Các bạn chỉ cần dựa vào định nghĩa để có thể áp dụng và tính toán làm bài một cách chính xác. Cụ thể:
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan đạo hàm
Dạng toán đạo hàm bài này sẽ chú trọng vào việc chứng minh một hệ thức dựa trên một điều kiện đã có sẵn. đòi hỏi các bạn sẽ phải chứng minh và tính toán chính xác nhất để cho ra được kết quả cuối cùng.
Dạng 3: Biết tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến
Nó là một trong những dạng giải bài tập khá phổ biến. rõ ràng là sẽ có một phương trình tiếp tuyến của hàm số trên đồ thị của đường cong (C): y= f(x) tại tiếp điểm M( x0 ; y0) và có dạng: y = y’(x0)(x-x0) + y0.
Ví dụ: Cho một hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là một tham số thực. Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A( 1;2).
TXD: D = R
y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1
Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4
Phương trình tiếp tuyến tại M( -1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)
Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m = 5/8
Dạng 4: Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc
Hãy viết phương trình tiếp tuyến Δ của ( C ) : y = f( x ), biết Δ có hệ số góc là k cho trước
Gọi M( x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)
Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = ( x0 ) = k (i)
- x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x – x0 )+ y0
Lưu ý: Hệ số góc k = y'( x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau:
Ví dụ: Cho hàm số y=x3+3×2-9x+5 ( C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ).
Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x – 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9
Ta có 3 x02 + 6×0– 9 =3 ( x02+ 2×0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12
Vậy min f( x0)= – 12 tại x0= -1 => y0=16
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4
Dạng 5: Bất phương trình và phương trình có đạo hàm
Dạng toán này sẽ liên kết với nhiều công thức để có khả năng giải phương trình hoặc một bất phương trình được đưa ra để tính toán ra được kết quả cuối cùng.
Dạng 6: dùng công thức tính đạo hàm
Ở đây các bạn cần phải thuộc được những bí quyết tính đạo hàm cơ bản để có khả năng xử lý được những bài tập một cách rõ ràng. nếu rơi vào trường hợp, thấy những hàm số phức tạp thì chúng ta có thể rút gọn trước hàm số đó rồi mới tiến hành tính đạo hàm, nhất là thuộc hàm lượng giác nhé.
Dạng 7: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước thuộc đồ thị/có hệ số góc cho trước của đồ thị hàm số
Các bạn học sinh cần phải nắm vững được hai dạng viết phương trình tiếp tuyến căn bản như sau đây:
Dạng 8: Tính đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao các dạng bài tập thường thiên về tính đạo hàm cấp 2 trở lên, khi đó các chúng ta có thể Áp dụng quy tắc y(n) = (y(n-1))’.
Còn so với hoàn cảnh để tính đạo hàm cấp n, các bạn học sinh sẽ phải tính đạo hàm từ cấp 1, 2, 3,…. Rồi từ đó mới tìm ra được bí quyết tính đạo hàm cấp n. Thường có thể áp dụng vào công thức quy nạp toán học để có khả năng chứng minh được bí quyết đấy là đúng.
Tổng kết
Bài viết trên nghecontent.com đã cung cấp cho bạn đầy đủ bảng công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác, các dạng bài tập, khái niệm,… Hi vọng bài viết trên có thể giúp bạn tham khảo. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều thông tin hữu ích khác nữa nhé!
